Licence Mathématiques

Nous présentons ici les cours de mathématiques de la première année du portail MIPI.
 

Semestre 1

Algèbre linéaire

Volume horaire : 18h de CM et 36h de TD

Prérequis : Aucuns

Enjeux du cours : Acquérir les bases de l'algèbre linéaire

Programme du cours :

1. Nombre complexes (4,5 - 5 semaines)
i. Forme algébrique,opérations élémentaires.
ii. Racine carrée, résolution d’une équation du second degré.
iii. Formetrigonométrique,interprétationgéométrique.
iv. Exponentielle d'un nombre complexe. Racines nièmes d'un nombre complexe.
 

2. Systèmes linéaires en petite dimension (1 semaine)
i. Systèmes équivalents.
ii. Méthode du pivot de Gauss.
 

3. Espaces vectoriels (4 semaines)
i. Premiers exemples d’espaces vectoriels : R2 ; R3, R .
Définition de la somme, du produit par un scalaire.
ii. Notions d'espace vectoriel, de sous-espace vectoriel.
iii. Exemples « théoriques » de e.v. : intersection et la somme des s.e.v.
iv. Familles libres, liées, génératrices. Bases.
v. Dimension et théorèmes en dimension finie (Grassmann).
vi. Somme directe, sous-espaces complémentaires.
 

4. Applications linéaires (2 semaines)
i. Applications linéaires, endomorphismes.
ii. Noyau et image d'une application linéaire.
iii. Théorème sur la dimension du noyau et de l’image d’une application linéaire.

Analyse 1

Volume horaire : 18h de CM et 36h de TD

Prérequis : Aucuns 

Enjeux du cours : Acquérir les bases de l'étude des fonctions d’une variable réelle

Programme du cours :

1. Rudiments de logique, nombres réels (2,5 semaines)
i. Implication, équivalence, réciproque, contraposée. Quantificateurs. Négation d'une proposition. Récurrence.
ii. Sous-ensembles. Intersection, réunion, produit cartésien.
iii. Relations d’ordre. Inégalités et inéquations dans R : valeur absolue, inégalité triangulaire.
ivSous-ensembles de R : intervalles, ensembles minorés, majorés et bornés.

2. Étude de fonctions (4 semaines)
i.Applications, image directe et réciproque d’une partie, composition.
ii. Définitions à base de quantificateurs : fonctions bornées, croissantes, décroissantes, paires, impaires, périodiques.
iii. Opérations algébriques sur les fonctions.
iv. Rappels et compléments sur les calculs de limites. Limites et relation d'ordre (la définition de limite sera vue au 2nd semestre ; pas de démonstration à ce niveau).
v. Dérivée. Opérations algébriques.
vi. Dérivée des fonctions usuelles, dérivée d’une composée de fonctions.
vii. Lien entre le signe de la dérivée et la variation de la fonction. Étude de fonctions : tableau de variation, minimum et maximum.

3. Dérivées d’ordre supérieur (2,5 semaines)
i. Dérivées d’ordre supérieur.
ii. Formule de Taylor-Young.
iii. Développements limités usuels, opérations algébriques sur les développements limités.
iv. Calculs de développements limités et applications au calcul de limites.

4. Calcul de primitives (3 semaines)
i.Primitives usuelles.
ii.Intégration par parties.
iii. Changementdevariables.

Semestre 2

Algèbre linéaire 2

Volume horaire : 18h de CM et 36h de TD

Prérequis : Majeures M1 Algèbre linéaire 1 et M1' Analyse 1

Enjeux du cours : Consolider les bases de l'algèbre linéaire Programme du cours :

1.Matrices (2 semaines)
i.Définition, différents types de matrices (colonne/ligne, carrée, triangulaire, diagonale...)
ii. Les 2 opérations vectorielles avec les matrices, le produit. Transportation.
iii. Matriceinverse,rangd’unematrice.Matriceséquivalentes.
iv. L’espace vectoriel des matrices. Base dans cet e.v., dimension.

2. Déterminants (2,5 semaines)
i. Déterminant d'une matrice carrée, d'une famille de vecteurs.
ii. Calculs de déterminants.
iii. Lien avec l'indépendance linéaire des vecteurs.
iv. Matrices inversibles : lien avec le déterminant.

2. Lien entre les applications linéaires et les matrices (1,5 semaines)
i. Matrice d’une application linéaire.
ii. Matrice de passage vue comme matrice de l’endomorphisme identique.
iii. Application : changement des coordonnées d’un vecteur lors du changement de la base.

3. Polynômes (3 semaines)
i. Fonction polynôme, structure vectorielle des polynômes.
ii. Degré. Divisibilité, division euclidienne. Polynôme dérivé.
iii. Racinesd'unpolynôme:définition,multiplicité,utilisationdespolynômesdérivés.
iv. Polynômes irréductibles dans C, dans R. Factorisation.

4. Équations différentielles linéaires (3 semaines)
i. Définition des équations différentielles linéaires, équations sans second membre. Structure linéaire des solutions.
ii. Résolution des équations différentielles linéaires d’ordre 1 à coefficients variables.
iii. Résolution des équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants avec
second membre du type exponentiel, polynôme.

Analyse 2

Volume horaire : 18h de CM et 36h de TD

Prérequis : Majeure M1' Analyse 1, Algèbre1

Enjeux du cours : Consolider les bases de l'étude des fonctions d’une variable réelle

Programme du cours :

1. Suites de nombres réels (4 semaines)
i. Distance sur R, voisinage d’un point de la droite réelle.
ii. Définition d’une suite. Exemples des suites arithmétiques, géométriques. Suites croissantes,
décroissantes, bornées.
iii. Limites de suites, opérations sur les limites, limites usuelles, théorèmes de comparaison.
iv. Bornes supérieures et inférieures dans R, théorème des suites monotones, suites adjacentes.
v. Suites extraites, théorème de Bolzano-Weierstrass (admis), suites de Cauchy.

2. Limites de fonctions, continuité (3 semaines)
i.Définition de limite de fonctions. Opérations sur les limites.
ii. Continuité, continuité à gauche, à droite. Prolongement par continuité.
iii. Caractérisation séquentielle de la continuité.

3. Propriétés d’une fonction continue sur un intervalle (1,5 semaines)
i. Théorème des valeurs intermédiaires. Preuve avec les suites adjacentes (dichotomie).
ii. Image d’un segment par une application continue. Preuve avec le théorème de Bolzano-Weierstrass.

4. Dérivées, théorème des accroissements finis (2 semaines)
i. Rappels sur les dérivées.
ii. Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis.
iii. Applications: lien entre sens de variation et signe de la dérivée (preuve du résultat déjà vu en Analyse 1), formule de Taylor-Lagrange.

5. Fonctions réciproques (1,5 semaines)

Semestre 1

Algèbre linéaire 3

Volume horaire : 19,5h de CM et 19,5h de TD

Prérequis : Majeures M1 Algèbre linéaire 1 et M2 Algèbre linéaire 2

Enjeux du cours : Acquérir les bases de la réduction des applications linéaires

Programme du cours :

1. Éléments propres des endomorphismes et des matrices
i. Matrice d’une application linéaire (rappel).
ii. Changement de bases, matrice de passage.
iii. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée.
iv. Polynôme caractéristique d’un endomorphisme, d’une matrice carrée, lien avec les valeurs
propres, ordre de multiplicité d’une valeur propre.
v. Énoncé du théorème de Cayley-Hamilton.

2. Diagonalisation des endomorphismes et des matrices
i. Rappels sur somme et somme directe de sous-espaces vectoriels.
ii. Matrices diagonales, matrices diagonalisables, endomorphismes diagonalisables.
iii. Caractérisation par la somme directe des sous-espaces propres, par leurs dimensions.

Fonctions plusieurs variables

Volume horaire : 19,5h de CM et 39h de TD

Prérequis : Majeures M1 Algèbre linéaire 1, M1' Analyse 1, M2 Algèbre linéaire 2 et M2 Analyse 2

Enjeux du cours : Acquérir les bases de l'étude des fonctions de plusieurs variables réelles

Programme du cours :

1. Normes sur R^n
i. Normes, distances, bornés.
ii. Boules, ouverts, voisinages.
iii. Fermés, compacts.

2. Fonctions de R^2 dans R
i. Limites, continuité, cas compact.
ii.Dérivées partielles, différentiabilité,,notation différentielle, applications de classe C^1, points critiques.
iii. Dérivées partielles du produit, de la somme, de la composée.
iv. Dérivées partielles d'ordre k, applications de classe C^k, théorème de Schwartz, extremums
locaux.
v. Fonctions convexes de R dans R, de R^2 dans R.

3. Fonctions de R^n dans R^d
i. Limites, continuité.
ii. Dérivées partielles, matrice jacobienne, différentiabilité, différentielle, applications de classe C^1.

Probabilités

Volume horaire : 19,5h de CM et 19,5h de TD

Prérequis : Majeures M1 Algèbre linéaire 1 et M1' Analyse 1

Enjeux du cours : Acquérir les bases de l'étude des probabilités

Programme du cours :

1. Dénombrement
i. Cardinal d’un ensemble fini, d’un produit, d’une réunion d’ensembles finis.
ii. Combinaisons, formules de Pascal et du binôme de Newton.

2. Probabilités discrètes
i. Univers, événements aléatoires.
ii. Probabilité, espaces de probabilité, probabilité uniforme.
iii. Probabilités conditionnelles et indépendance.
iv. Variables aléatoires discrètes, loi et fonction de répartition d’une variable aléatoire,
exemples des lois uniforme, de Bernoulli, binomiale, géométrique et de Poisson.
v. Couple de variables aléatoires, variables aléatoires indépendantes.
vi. Espérance, variance, écart-type et covariance.
vii. Moyenne empirique, loi faible des grands nombres.
viii. Fonctions génératrices, applications combinatoires

Séries

Volume horaire : 19,5h de CM et 39h de TD

Prérequis : Majeures M1' Analyse 1 et M2 Analyse 2

Enjeux du cours : Acquérir les bases de l'étude des séries

Programme du cours :

1. Comparaison des suites numériques
i. Relations O et o.
ii. Relation d'équivalence.
iii. Détermination pratique des équivalents.

2. Séries numériques
i. Somme partielle, convergence d'une série.
ii. Opérations sur les séries, séries de référence.
iii. Convergence absolue, critères de convergence pour les séries à termes positifs, comparaison à la primitive.
iv. Produit de Cauchy de deux séries.

3. Séries de fonctions
i. Convergences simple et normale.
ii. Préservation de la continuité.
iii. Intégration sur un segment de la fonction somme, primitive d'une série de fonctions.
iv. Préservation de la dérivabilité.

4. Séries entières
i. Rayon et disque de convergence, critères de calcul du rayon.
ii. Opérations sur les séries entières.
iii. Continuité et dérivabilité des séries entières.
iv. Fonctions développables en séries entières, développements usuels.

Semestre 2

Algèbre bilinéaire

Volume horaire : 19,5h de CM et 19,5h de TD

Prérequis : Majeures M1 Algèbre linéaire 1, M2 Algèbre linéaire 2 et M4 Algèbre linéaire 3

Enjeux du cours : Acquérir les bases de l’algèbre bilinéaire

Programme du cours :

1. Formes bilinéaires et formes quadratiques
i. Formes bilinéaires, changements de bases.
ii. Dualité, rang d’une forme bilinéaire, formes bilinéaires non dégénérées.
iii. Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques. Formule de polarisation.
iv. Méthode de Gauss, orthogonalité, loi d’inertie de Sylvester.

2. Espaces euclidiens
i. Produits scalaires, normes euclidiennes, inégalité de Cauchy-Schwarz, Orthogonalité, théorème de Pythagore, sous-espace orthogonal, projection orthogonale.
ii. Familles orthogonales, orthonormales, bases orthonormales. Orthonormalisation de Gram- Schmidt

3. Endomorphismes orthogonaux et symétriques
i. Endomorphismes adjoints, orthogonaux, symétries orthogonales, rotations.
ii.  Endomorphismes symétriques, théorème spectral.

Analyse

Volume horaire : 19,5h de CM et 39h de TD

Prérequis : Majeures M1’ Analyse 1, M2 Analyse 2, M3 Séries, M3 Algèbre linéaire 3 et M4 Fonctions de plusieurs variables

Enjeux du cours : Approfondir les connaissances en analyse fonctionnelle, en résolution des équations différentielles et en topologie.

Programme du cours :

1. Espaces vectoriels normés de dimension finie
i. Normes, distances, équivalence des normes.
ii. Convergence des suites, suites extraites, valeurs d’adhérence.
iii. Boules, ouverts, voisinages, intérieurs.
iv. Fermés, adhérences, compacts
v. Topologie de R : caractérisation des compacts en tant que fermés bornés.
vi. Fonctions d’une variable réelle : continuité, continuité uniforme, cas compact, théorème de
Heine.
vii. Suites de Cauchy, complétude, théorème du point fixe.

2. Suite de fonctions d'une variable réelle
i. Convergences simple et uniforme, norme uniforme.
ii. Préservation de la continuité.
iii. Intégration sur un segment de la fonction somme, primitive d'une suite de fonctions.
iv. Préservation de la dérivabilité.
v. Application aux séries de fonctions.

3. Équations différentielles linéaires
i. Système différentiel linéaire, problème de Cauchy, énoncé du théorème de Cauchy linéaire.
ii.Équations homogènes, avec second membre, structures de l’ensemble des solutions.
iii. Exponentielle d’une matrice, calcul de l’exponentielle dans le cas diagonalisable.
iv. Systèmes différentiels à coefficients constants, méthode de variation de la constante dans le cas constant.

Intégration

Volume horaire : 19,5h de CM et 19,5h de TD

Prérequis : Majeures M1' Analyse 1, M2 Analyse 2, M3 Séries et M4 Fonctions de plusieurs variables.

Enjeux du cours : Acquérir les bases du calcul intégral

Programme du cours :

1. Intégration sur un segment
i. Subdivisions, fonctions en escaliers, fonctions continues par morceaux.
ii. Intégrale de Riemann, sommes de Riemann.
iii. Lien avec les primitives, intégration par parties, changement de variables.

2. Intégrales généralisées.
i. Intégrales convergentes, exemples des intégrales de Riemann.
ii. Intégrales absolument convergentes, critères d’intégrabilité pour les fonctions positives.
iii. Intégrales semi-convergentes.

3. Intégrales à paramètres
i. Fonctions définies par une intégrale sur un segment, théorèmes de continuité et de dérivabilité.
ii. Énoncé du théorème de convergence dominée, continuité et dérivabilité des fonctions définies par une intégrale généralisée.

4. Intégrales doubles et triples
i. Intégrales doubles et triples des fonctions continues sur un domaine simple (rectangle,
triangle, boule).
ii. Théorème de Fubini, permutation des séries et des intégrales.
iii. Changement de variables dans les intégrales doubles et triples.

Structures algébriques

Volume horaire : 19,5h de CM et 39h de TD

Prérequis : Majeures M1 Algèbre linéaire 1 et M2 Algèbre linéaire 2

Enjeux du cours : Acquérir les bases de la théorie des groupes et de l’arithmétique

Programme du cours :

1. Arithmétique dans Z
i. Idéaux de Z, PGCD, algorithme d’Euclide, PPCM.
ii. Nombres premiers entre eux, théorèmes de Bézout et de Gauss.
iii. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers.
iv. Anneaux Z/nZ, théorème chinois.

2. Groupes.
i. Lois de composition internes, groupes, sous-groupes, morphismes de groupes.
ii. Groupes des permutations, cycles, transpositions, signature.
iii. Congruences, groupes Z/nZ, racines de l’unité.
iv. Groupes monogènes et cycliques, ordre d’un élément dans un groupe.

3. Arithmétique dans K[X]
i. Idéaux de K[X], PGCD, algorithme d’Euclide, PPCM.
ii. Polynômes premiers entre eux, théorèmes de Bézout et de Gauss.
iii. Polynômes irréductibles, décomposition en facteurs irréductibles, polynômes irréductibles de
C[X] et de R[X].

Semestre 1

Algèbre linéaire 4

Volume horaire : 19,5h de CM et 19,5h de TD

Prérequis : Majeures M4 Algèbre linéaire 3 , M5 Algèbre bilinéaire et M6 Structures algébriques. 
Enjeux du cours : Approfondir la mise en œuvre de la réduction des applications linéaires.

Programme du cours :

1. Trigonalisation des matrices (2 semaines)
i. Matrices triangulaires, trigonalisables.
i. Caractérisation par le caractère scindé du polynôme caractéristique, cas complexe.

2. Polynômes d’endomorphismes et de matrices (7 semaines)
i. Polynômes d’endomorphismes, polynômes annulateurs, polynôme minimal, théorème de
Cayley-Hamilton.
ii. Sous-espaces stables, endomorphismes induits, lemme des noyaux, sous-espaces
caractéristiques, applications à la diagonalisation et à la trigonalisation.
iii. Matrices nilpotentes, décomposition de Dunford, réduction de Jordan*.
iv. Applications au calcul des puissances et de l’exponentielle des matrices.

3. Espaces hermitiens (4 semaines)
i. Formes sesquilinéaires, produits scalaires hermitiens, normes hermitiennes, inégalité de
Cauchy-Schwarz, formule de polarisation.
ii. Orthogonalité, sous-espace orthogonal, projection orthogonale.
iii. Familles orthogonales, orthonormales, bases orthonormales.
iv. Endomorphismes adjoints et unitaires.
v. Endomorphismes hermitiens, théorème spectral.

Analyse complexe

Volume horaire : 19,5h de CM et 39h de TD

Prérequis : Majeures M3 Séries, M4 Fonctions de plusieurs variables, M5 Intégration, M6
Analyse 3. 
Enjeux du cours : Acquérir les bases de l’analyse complexe.

Programme du cours :

1. Fonctions analytiques (5 semaines)
i. Rappels sur les séries entières, rayon et disque de convergence, opérations élémentaires,
continuité et dérivabilité.
ii. Fonctions analytiques, caractère holomorphe des fonctions analytiques.
iii. Connexité*, connexité par arcs, principe du prolongement analytique et des zéros isolés.
iv. Exponentielle complexe, fonctions hyperboliques et trigonométriques, déterminations du
logarithme.

2. Fonctions holomorphes (8 semaines)
i. Fonctions holomorphes, conditions de Cauchy-Riemann.
ii. Intégrale sur des chemins, indice d’un point par rapport à un lacet.
iii. Formule de Cauchy, primitives des fonctions holomorphes, analyticité des fonctions
holomorphes (admis).
iv. Inégalités de Cauchy, théorème de Liouville, de d’Alembert-Gauss.
v. Singularités des fonctions holomorphes, séries de Laurent, fonctions méromorphes,
théorème des résidus.
vi. Fonctions harmoniques, lien avec les fonctions holomorphes, propriété de la moyenne, principe du maximum*.

Bibliographie : Éric Amar et Étienne Matheron, Analyse complexe, Cassini, 2004. Michèle
Audin, Analyse complexe, 2011.
Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, Dunod, 2020.

Théorie de la mesure

Volume horaire : 39h de CM et 19,5h de TD

Prérequis : Majeures M3 Séries, M3 Probabilités, M4 Fonctions de plusieurs variables, M5 Intégration et M6 Analyse 3.

Enjeux du cours : Acquérir les bases de la théorie de la mesure.

Programme du cours :

1. Espaces mesurables (2 semaines)
i. Tribus, ensembles mesurables, tribu de Borel.
ii. Mesures positives, mesure de Lebesgue, mesures de comptage, ensembles négligeables.
iii. Intégration des fonctions mesurables (5 semaines)
iv. Fonctions étagées, mesurables, approximation par les fonctions étagées.
v. Intégrale d’une fonction étagée, d’une fonction mesurable, théorème de convergence
monotone, lemme de Fatou.
vi. Fonctions intégrables, théorème de convergence dominée.
vii. Intégrales dépendant d’un paramètre, théorèmes de continuité et de dérivabilité.

2. Intégration sur les espaces produits (3 semaines)
i. Tribus et mesures produit.
ii. Théorème de Fubini.
iii. Changements de variables dans R .

3. Espaces de Lebesgue (3 semaines)
i. Espaces de Lebesgue, inégalités de Hölder, de Minkowski, théorème de Riesz-Fisher.

Analyse numérique

Volume horaire : 19,5h de CM et 19,5h de TD

Prérequis : Majeures M3 Séries, M4 Fonctions de plusieurs variables, M5 Intégration et M6 Analyse 3.

Enjeux du cours : Acquérir les bases de l’analyse numérique dans le cadre des fonctions de la variable réelle et les mettre en œuvre dans le langage Python.

Programme du cours :

1. Calcul approché des zéros d'une fonction (3 semaines)
i. Méthodes itératives, estimation de l’erreur, vitesse de convergence, méthodes de Picard et
de Newton.
ii. Méthodes d’encadrement, méthode de la dichotomie.

2. Approximation polynomiale (3 semaines)
i. Interpolation de Lagrange, estimation de l’erreur d’interpolation.
ii. Énoncé du théorème de Weierstrass.

3. Calcul approché d'intégrales (3 semaines)
i. Méthodes de quadratures élémentaires et composées, méthodes des rectangles.
ii. Méthodes de Newton-Cotes, méthode des trapèzes.

4. Calcul approché d'intégrales (3 semaines)
i. Méthodes de quadratures élémentaires et composées, méthodes des rectangles.
ii. Méthodes de Newton-Cotes, méthode des trapèzes.

5. Résolution approchée des équations différentielles ordinaires (4 semaines)
i. Méthodes à un pas, méthodes d'Euler, critères de consistance, de stabilité, de convergence,
ordre d'une méthode.
ii. Méthodes de Runge-Kunta
 

Bibliographie : Jean-Pierre Demailly. Analyse numérique et équations différentielles, EDP Sciences, 2006.

Semestre 2

Géométrie

Volume horaire : 19,5h de CM et 19,5h de TD

Prérequis : Majeures M4 Algèbre linéaire 3, M5 Algèbre bilinéaire, M6 Structures algébriques et M7 Algèbre linéaire 4.

Enjeux du cours : Acquérir les bases de l’étude des transformations géométriques. Programme du cours :

1. Géométrie vectorielle (3 semaines)
i. Groupe linéaire, spécial linéaire.
ii. Transvections, dilatations.

2. Géométrie affine (4 semaines)
i. Espace affine, applications affines, sous-espaces affines, repères affines.
ii. Groupe affine, homothéties, translations.
iii. Barycentres, parties convexes, enveloppe convexe.

3. Géométrie euclidienne (5 semaines)
i. Groupe orthogonal, spécial orthogonal, réflexions, rotations.
ii. Isométries affines, déplacements, antidéplacements, similitudes.
iii. Classification des isométries et similitudes en dimension 2.
iv. Utilisation des nombres complexes en géométrie plane.

4. Géométrie projective* (1 semaine)
i. Droite, plan et espace projectifs.

Probabilités, statistiques

Volume horaire : 19,5h de CM et 39h de TD

Prérequis : Majeures M3 Séries, M3 Probabilités, M5 Intégration, M6 Analyse 3 et M8 Théorie de la mesure.

Enjeux du cours : Approfondir l’étude des probabilités et aborder celle des statistiques.

Programme du cours :
1. Espace probabilisé. Opérations sur les probabilités (2 semaines)
i. Tribus d’événements, mesure de probabilité, espace probabilisé.
ii. Probabilités conditionnelles et indépendance.

2. Variables et vecteurs aléatoires (5 semaines)
i. Variables aléatoires, loi, fonction de répartition, espérance, variance
ii. Inégalités remarquables : inégalité de Markov, inégalité de Bienaimé-Tchebychev, rappel de
l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
iii. Rappels sur les variables aléatoires discrètes, lois usuelles: uniforme, Bernoulli, binomiale,
hypergéométrique, géométrique, Poisson.
iv. Variables aléatoires à densité, lois usuelles : uniforme, normale, exponentielle, gamma.
Changement de lois.
v. Vecteurs aléatoires, lois marginales, indépendance de variables aléatoires.
vi. Fonctions caractéristiques et fonctions génératrices.

3. Théorèmes limites (3 semaines)
i. Modes de convergence des suites de variables aléatoires, convergences en moyenne, en
moyenne quadratique, en probabilité, presque sûre, en loi.
ii. Rappels du théorème de convergence monotone et du théorème de convergence dominée.
iii. Lois faible et forte (admis) des grands nombres et théorème central limite.

4. Introduction aux statistiques (3 semaines)
i. Estimation ponctuelle, statistiques d’échantillonnage : moyenne et variance empiriques.
ii. Biais d’un estimateur, consistance.
iii. Estimation par intervalle de confiance.

Espaces vectoriels normés, calcul différentiel

Volume horaire : 39h de CM et 19,5h de TD

Prérequis : Majeures M3 Séries, M4 Fonctions de plusieurs variables, M5 Intégration et M6 Analyse 3.

Enjeux du cours : Approfondir l’étude des espaces vectoriels normés et du calcul différentiel.

Programme du cours :

1. Espaces vectoriels normés (5 semaines)
i. Rappels sur les normes, équivalence des normes, normes sur les espaces de suites et les
espaces de fonctions continues bornées.
ii. Applications linéaires et multilinéaires continues, norme d’une application linéaire continue.
iii. Complétude, espaces de Banach, exemples classiques.

2. Calcul différentiel (5 semaines)
i. Applications différentiables, de classe C1, théorème des accroissements finis.
ii. Applications lipschitziennes, contractantes, théorème du point fixe.
iii. Théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites en dimension finie.
iv. Dérivation d’ordre supérieur, fonctions de classe Ck, formules de Taylor.

3. Équations différentielles (3 semaines)
i. Théorème de Cauchy-Lipschitz, cas linéaire.
ii. Solutions maximales, globales, principe de majoration a priori, lemme de Grönwall*.

Bibliographie : Xavier Gourdon, Les maths en tête – Analyse, Ellipses, 2008.
François Rouvière, Petit guide de calcul différentielle à l’usage de la licence et de l’agrégation, Cassini, 2003.

Analyse de Fourier

Volume horaire : 19,5h de CM et 19,5h de TD

Prérequis : Majeures M3 Séries, M5 Intégration, M6 Analyse 3. 
Enjeux du cours : Approfondir l’étude de l’analyse de Fourier.

Programme du cours :

1. Séries de Fourier (6 semaines)
i. Coefficients et séries de Fourier sur l’espace L1, lemme de Riemann-Lebesgue.
ii. Théorème de Dirichlet.
iii. Théorème de Fejér, théorème de Weierstrass trigonométrique.
iv. Inégalité de Bessel, formule de Parseval.

2. Espaces de Hilbert (4 semaines)
i. Espaces de Hilbert, exemples des espaces l et L .
ii. Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel fermé, sous-espace orthogonal.
iii. Espaces de Hilbert séparables, bases hilbertiennes, inégalité de Bessel, formule de Parseval.

3. Transformation de Fourier (3 semaines)
i. Transformation de Fourier sur l’espace L1, formule de Fourier inverse, convolution.
ii. Transformation de Fourier sur l’espace L2, énoncé et applications du théorème de Plancherel*.

Bibliographie : Xavier Gourdon, Les maths en tête – Analyse, Ellipses, 2008. Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, Dunod, 2020.

Semestre 1

Algèbre linéaire 4

Volume horaire : 19,5h de CM et 19,5h de TD

Prérequis : Majeures M4 Algèbre linéaire 3 , M5 Algèbre bilinéaire et M6 Structures algébriques. 
Enjeux du cours : Approfondir la mise en œuvre de la réduction des applications linéaires.

Programme du cours :

1. Trigonalisation des matrices (2 semaines)
i. Matrices triangulaires, trigonalisables.
i. Caractérisation par le caractère scindé du polynôme caractéristique, cas complexe.

2. Polynômes d’endomorphismes et de matrices (7 semaines)
i. Polynômes d’endomorphismes, polynômes annulateurs, polynôme minimal, théorème de
Cayley-Hamilton.
ii. Sous-espaces stables, endomorphismes induits, lemme des noyaux, sous-espaces
caractéristiques, applications à la diagonalisation et à la trigonalisation.
iii. Matrices nilpotentes, décomposition de Dunford, réduction de Jordan*.
iv. Applications au calcul des puissances et de l’exponentielle des matrices.

3. Espaces hermitiens (4 semaines)
i. Formes sesquilinéaires, produits scalaires hermitiens, normes hermitiennes, inégalité de
Cauchy-Schwarz, formule de polarisation.
ii. Orthogonalité, sous-espace orthogonal, projection orthogonale.
iii. Familles orthogonales, orthonormales, bases orthonormales.
iv. Endomorphismes adjoints et unitaires.
v. Endomorphismes hermitiens, théorème spectral.

Analyse complexe

Volume horaire : 19,5h de CM et 39h de TD

Prérequis : Majeures M3 Séries, M4 Fonctions de plusieurs variables, M5 Intégration, M6
Analyse 3. 
Enjeux du cours : Acquérir les bases de l’analyse complexe.

Programme du cours :

1. Fonctions analytiques (5 semaines)
i. Rappels sur les séries entières, rayon et disque de convergence, opérations élémentaires,
continuité et dérivabilité.
ii. Fonctions analytiques, caractère holomorphe des fonctions analytiques.
iii. Connexité*, connexité par arcs, principe du prolongement analytique et des zéros isolés.
iv. Exponentielle complexe, fonctions hyperboliques et trigonométriques, déterminations du
logarithme.

2. Fonctions holomorphes (8 semaines)
i. Fonctions holomorphes, conditions de Cauchy-Riemann.
ii. Intégrale sur des chemins, indice d’un point par rapport à un lacet.
iii. Formule de Cauchy, primitives des fonctions holomorphes, analyticité des fonctions
holomorphes (admis).
iv. Inégalités de Cauchy, théorème de Liouville, de d’Alembert-Gauss.
v. Singularités des fonctions holomorphes, séries de Laurent, fonctions méromorphes,
théorème des résidus.
vi. Fonctions harmoniques, lien avec les fonctions holomorphes, propriété de la moyenne, principe du maximum*.

Bibliographie : Éric Amar et Étienne Matheron, Analyse complexe, Cassini, 2004. Michèle
Audin, Analyse complexe, 2011.
Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, Dunod, 2020.

Algèbre et géométrie pour l'enseignement

Volume horaire : 19,5h de CM et 39h de TD

Prérequis : Algèbre Linéaire 1, 2 et 3 et structures algébriques

Compétences visées : Résoudre des problèmes en géométrie, réinvestir les notions de groupes en géométrie

Enjeux du cours : Maîtriser le programme de géométrie du collège et lycée

Programme du cours :
Utilisation des nombres complexes en géométrie est vue tout au long du programme

1. Les triangles
i. Les droites remarquables du triangle.
ii. Les propriétés des triangles spéciaux. Application à la trigonométrie.
iii. Égalité et similitude.

2. Les quadrilatères
i. Définition, types de quadrilatères et caractérisation.

3. Coniques (1 semaine)
i. Classification.
ii. Attributs géométriques.

4. Groupes dans la géométrie
i.Groupe laissant stable une partie du plan.
ii. Les groupes de frises et les groupes de pavages.

5. Espace affine/affine euclidien
i. Parallélisme, théorème de Thalès
ii. Orientation, angles orientés

Analyse numérique

Volume horaire : 19,5h de CM et 19,5h de TD

Prérequis : Majeures M3 Séries, M4 Fonctions de plusieurs variables, M5 Intégration et M6 Analyse 3.

Enjeux du cours : Acquérir les bases de l’analyse numérique dans le cadre des fonctions de la variable réelle et les mettre en œuvre dans le langage Python.

Programme du cours :

1. Calcul approché des zéros d'une fonction (3 semaines)
i. Méthodes itératives, estimation de l’erreur, vitesse de convergence, méthodes de Picard et
de Newton.
ii. Méthodes d’encadrement, méthode de la dichotomie.

2. Approximation polynomiale (3 semaines)
i. Interpolation de Lagrange, estimation de l’erreur d’interpolation.
ii. Énoncé du théorème de Weierstrass.

3. Calcul approché d'intégrales (3 semaines)
i. Méthodes de quadratures élémentaires et composées, méthodes des rectangles.
ii. Méthodes de Newton-Cotes, méthode des trapèzes.

4. Calcul approché d'intégrales (3 semaines)
i. Méthodes de quadratures élémentaires et composées, méthodes des rectangles.
ii. Méthodes de Newton-Cotes, méthode des trapèzes.

5. Résolution approchée des équations différentielles ordinaires (4 semaines)
i. Méthodes à un pas, méthodes d'Euler, critères de consistance, de stabilité, de convergence,
ordre d'une méthode.
ii. Méthodes de Runge-Kunta
 

Bibliographie : Jean-Pierre Demailly. Analyse numérique et équations différentielles, EDP Sciences, 2006.

Semestre 2

Géométrie

Volume horaire : 19,5h de CM et 19,5h de TD

Prérequis : Majeures M4 Algèbre linéaire 3, M5 Algèbre bilinéaire, M6 Structures algébriques et M7 Algèbre linéaire 4.

Enjeux du cours : Acquérir les bases de l’étude des transformations géométriques. Programme du cours :

1. Géométrie vectorielle (3 semaines)
i. Groupe linéaire, spécial linéaire.
ii. Transvections, dilatations.

2. Géométrie affine (4 semaines)
i. Espace affine, applications affines, sous-espaces affines, repères affines.
ii. Groupe affine, homothéties, translations.
iii. Barycentres, parties convexes, enveloppe convexe.

3. Géométrie euclidienne (5 semaines)
i. Groupe orthogonal, spécial orthogonal, réflexions, rotations.
ii. Isométries affines, déplacements, antidéplacements, similitudes.
iii. Classification des isométries et similitudes en dimension 2.
iv. Utilisation des nombres complexes en géométrie plane.

4. Géométrie projective* (1 semaine)
i. Droite, plan et espace projectifs.

Probabilités, statistiques

Volume horaire : 19,5h de CM et 39h de TD

Prérequis : Majeures M3 Séries, M3 Probabilités, M5 Intégration, M6 Analyse 3 et M8 Théorie de la mesure.

Enjeux du cours : Approfondir l’étude des probabilités et aborder celle des statistiques.

Programme du cours :
1. Espace probabilisé. Opérations sur les probabilités (2 semaines)
i. Tribus d’événements, mesure de probabilité, espace probabilisé.
ii. Probabilités conditionnelles et indépendance.

2. Variables et vecteurs aléatoires (5 semaines)
i. Variables aléatoires, loi, fonction de répartition, espérance, variance
ii. Inégalités remarquables : inégalité de Markov, inégalité de Bienaimé-Tchebychev, rappel de
l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
iii. Rappels sur les variables aléatoires discrètes, lois usuelles: uniforme, Bernoulli, binomiale,
hypergéométrique, géométrique, Poisson.
iv. Variables aléatoires à densité, lois usuelles : uniforme, normale, exponentielle, gamma.
Changement de lois.
v. Vecteurs aléatoires, lois marginales, indépendance de variables aléatoires.
vi. Fonctions caractéristiques et fonctions génératrices.

3. Théorèmes limites (3 semaines)
i. Modes de convergence des suites de variables aléatoires, convergences en moyenne, en
moyenne quadratique, en probabilité, presque sûre, en loi.
ii. Rappels du théorème de convergence monotone et du théorème de convergence dominée.
iii. Lois faible et forte (admis) des grands nombres et théorème central limite.

4. Introduction aux statistiques (3 semaines)
i. Estimation ponctuelle, statistiques d’échantillonnage : moyenne et variance empiriques.
ii. Biais d’un estimateur, consistance.
iii. Estimation par intervalle de confiance.

Analyse approfondie

Volume horaire : 19,5h de CM et 39h de TD

Prérequis : Analyse 1, 2 et 3
Compétences visées : Construction des bases de l'analyse réelle

Enjeux du cours : On admet l'existence du corps des réels ayant la propriété de la borne supérieure puis on construit. C'est cet aspect de la construction de la théorie qui est au centre du cours. La plupart des notions sont connues des étudiants, elles sont reprises avec ordre et rigueur pour donner aux étudiants le recul nécessaire à l'enseignement de la discipline.

Et pour les TD, on fait les exercices difficiles de L1

Programme du cours :

1. Suite de nombres réels/complexes
Démonstrations à connaître :
i. Opérations sur les limites, passage à la limite dans les inégalités
ii. Suites adjacentes et l'application à la borne supérieure
iii. Ecriture décimale des réels

2. Étude des fonctions.
Démonstrations à connaître :
i. Opérations sur les fonctions continues : somme, produit, composée
ii. Théorème de valeurs intermédiaires, l'image d'un segment par une fonction continue
iii. Formule de dérivation : produit des fonction, composée de fonctions.
iv. Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis, inégalité des accroissements finis
v. Caractérisation des fonctions convexes

3. Fonction classiques.
i. Définition de l'exponentielle complexe
ii. Définition de l'exponentielle réelle
iii. Définition du logarithme népérien
iv. Définition des fonctions trigonométriques directes et réciproques

Analyse de Fourier

Volume horaire : 19,5h de CM et 19,5h de TD

Prérequis : Majeures M3 Séries, M5 Intégration, M6 Analyse 3. 
Enjeux du cours : Approfondir l’étude de l’analyse de Fourier.

Programme du cours :

1. Séries de Fourier (6 semaines)
i. Coefficients et séries de Fourier sur l’espace L1, lemme de Riemann-Lebesgue.
ii. Théorème de Dirichlet.
iii. Théorème de Fejér, théorème de Weierstrass trigonométrique.
iv. Inégalité de Bessel, formule de Parseval.

2. Espaces de Hilbert (4 semaines)
i. Espaces de Hilbert, exemples des espaces l et L .
ii. Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel fermé, sous-espace orthogonal.
iii. Espaces de Hilbert séparables, bases hilbertiennes, inégalité de Bessel, formule de Parseval.

3. Transformation de Fourier (3 semaines)
i. Transformation de Fourier sur l’espace L1, formule de Fourier inverse, convolution.
ii. Transformation de Fourier sur l’espace L2, énoncé et applications du théorème de Plancherel*.

Bibliographie : Xavier Gourdon, Les maths en tête – Analyse, Ellipses, 2008. Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, Dunod, 2020.