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Publié le 19 décembre 2024– Mis à jour le 3 janvier 2025

Master Mathématiques parcours Mathématiques Appliquées pour l'Apprentissage, le Calcul et l'Intelligence Artificielle

Formation LMD
Master Mathématiques parcours Mathématiques Appliquées pour l'Apprentissage, le Calcul et l'Intelligence Artificielle
Diplôme national de master contrôlé par l'État
Diplôme national de master contrôlé par l'État

Résumé

L'objectif du master MACIA est de former une nouvelle génération de mathématiciens capables d'innover dans le contexte des révolutions industrielles de l'IA et des technologies quantiques. En savoir plus

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Détails

Présentation

L'objectif du master MACIA est de former une nouvelle génération de mathématiciens capables d'innover dans le contexte des révolutions industrielles de l'IA et des technologies quantiques. La deuxième année de master peut s’effectuer en alternance. Après vos études de master vous pourrez intégrer le marché du travail de l’industrie et des nouvelles technologies (quantique, IA, entreprises de la Deeptech, industries de la défense, etc.) ou devenir chercheur dans des organismes de recherche (universités, CNRS, INRIA, etc.) en complétant votre formation avec une thèse (Cifre, etc.).

Enjeux

Le besoin de nouveaux outils mathématiques pour développer l'industrie dépasse largement le cadre historique du calcul scientifique. Toutes les mathématiques modernes s'avèrent utiles pour inventer des méthodes d'analyse des données et de réduction de modèles, expliquer et évaluer les prédictions des algorithmes. Ce sont ces mathématiques que vous découvrirez durant ces deux années de master.

Lieux

Site de Saint-Martin

Responsable(s) de la formation

Christophe Prange, Professeur des universités, Directeur adjoint du laboratoire AGM (CNRS/CYU)
Masquer les détails supplémentaires

Admission

Pré-requis

Niveau(x) de recrutement

Licence

Public ciblé

La première année est ouverte aux candidats titulaires d'un diplôme de licence (mention mathématiques ou mathématiques appliquées). L’obtention d’une mention à ce diplôme est particulièrement appréciée.

La deuxième année est ouverte aux candidats titulaires d'une première année de master (mention mathématiques ou mathématiques appliquées).

Modalités de candidature

La candidature se fait via la plateforme Mon Master. Le dossier de candidature se compose :

  • du diplôme de Licence 3 (mention mathématiques),
  • des relevés des notes des quatre dernières années (baccalauréat compris),
  • d'une lettre de motivation qui décrit, en particulier, le projet professionnel.

Modalités de candidature spécifiques

Les personnes en situation d’handicap souhaitant suivre cette formation sont invitées à nous contacter directement, afin d’étudier ensemble les possibilités de suivre la formation. 

Le dossier de candidature à une bourse d'excellence est téléchargeable à l'adresse :

https://cytech.cyu.fr/lecole/institut-sciences-et-techniques

Le dossier complété doit être retourné aux adresses mails :

christine.richter@cyu.fr
philippe.gravejat@cyu.fr

Programme

Première année:
Bloc 1 (septembre-novembre)
  • Probabilités : La théorie des probabilités est au coeur : (i) de l’analyse des données en ce
    qu’elle sert de fondement aux statistiques inférentielles, aux statistiques en grandes
    dimensions et (ii) de l’apprentissage machine via notamment les méthodes d’apprentissage
    statistique et d’apprentissage par renforcement. Le cours couvre les sujets suivants : rappels
    sur la théorie de la mesure et les probabilités élémentaires. Introduction de la notion de
    vecteurs gaussiens de l’espérance conditionnelle afin de pouvoir aborder la notion de
    martingale ainsi que les chaînes de Markov.
  • Equations aux Dérivées Partielles (EDP) : Les EDP sont des équations modélisant une grande
    classe de phénomènes, en mécanique des structures, en mécanique des fluides, en mécanique
    quantique, en relativité, en physique statistique, en écologie, en sciences sociales ou en
    finance. La collecte massive de données dans de nombreux champs d’activité et en sciences
    stimule de nouvelles questions à l’interface modélisation, calcul scientifique et analyse de
    données. Les EDP jouent un rôle central dans ce triptyque. L’enjeu pour un ingénieur/ingénieur-chercheur de nos jours est de connaître à la fois les techniques classiques de simulation numérique, et les techniques modernes d’apprentissage machine pour les EDP. Ce cours est donc préparatoire aux autres cours en lien avec les EDP. Il couvre notamment : la notion de solutions faibles, l’étude des trois grands types d’EDP linéaires et des exemples d’EDP non linéaires.
  • Optimisation avancée : Les algorithmes d’optimisation sont omniprésents dans l’industrie, les
    technologies de la Deep Tech et de l’Intelligence Artificielle : calculs de valeurs propres et
    vecteurs propres, algorithmes de résolution de systèmes linéaires en grandes dimensions et
    leurs applications à la résolution numérique d’EDP, optimisation des jeux de paramètres dans
    les réseaux de neurones, résolution de problèmes complexes, souvent mal posés dans
    l’industrie comme l’optimisation de formes d’ailes d’avion, l’optimisation de réseaux
    électriques. Le cours couvre les thématiques suivantes : rappels sur la convexité et la
    coercivité, optimisation en dimension finie avec et sans contrainte, programmation
    dynamique, puis optimisation stochastique.
  • C++ et Python : Maîtriser les langages appropriés à l’étude des données et pour le calcul
    scientifique en adéquation avec les demandes des entreprises exprimées dans les fiches
    métier.
  • Maths-Entreprises : Témoignages de différents acteurs du monde industriel, de la Deeptech
    et de la science.
  • Projet : Cette UE s’inscrit dans la pédagogie par projet.
    L’étudiant doit être en mesure de compléter son portfolio de compétences. Langages utilisés : C++,
    Julia, Python ou R, et Visual Basic. Cette UE permettra aussi d’apprendre à utiliser Git.
Bloc 2 (décembre-février)
  • Statistiques avancées : Ce module est centré sur l’analyse statistique inférentielle développée au 20ème siècle . Il n’aborde pas les problématiques liées à l’analyse de données en grandes
    dimensions qui seront vues en troisième année. Les sujets abordés sont les suivants :
    théorèmes limites (lois des grands nombres, TCL, théorèmes de convergence des fonctions de
    répartition), statistiques fréquentistes (estimation, tests, intervalles de confiance), régression
    linéaire multivariée (modèle linéaire gaussien...), statistiques bayésiennes, statistiques non
    paramétriques (Kolmogorov Smirnov, test du χ2 indépendance et adéquation).
  • Algèbre linéaire avancée : L’algèbre linéaire appliquée est au coeur notamment des
    algorithmes des moteurs de recherche, de la théorie des graphes, de la résolution numérique
    d’équations différentielles et de la classification des données. Un très grand nombre de
    problèmes se traduit, éventuellement après discrétisation, en des problèmes d’inversion de
    matrices, de calcul de valeurs propres ou de vecteurs propres de matrices. Ces matrices, bien
    qu’en très grandes dimensions, ont souvent des structures particulières (matrices positives,
    matrices creuses) héritées du problème de départ. Ceci résulte en de nombreuses méthodes,
    basées sur des décompositions matricielles particulières et des outils d’optimisation. Le cours
    couvre : des rappels de théorie spectrale, la factorisation de matrices, les procédés de Gram-
    Schmidt et Householder, la décomposition en valeurs singulières, l’analyse en composantes
    principales, des méthodes itératives de résolution de problèmes linéaires, le calcul approché
    de valeurs propres, le cas des matrices à coefficients positifs, des matrices primitives, le
    Théorème de Perron-Frobenius, les algorithmes randomisés.
  • Introduction à l’apprentissage machine : Ce cours vise à donner les bases de l’apprentissage
    machine, ou apprentissage automatique, c’est-à-dire l’ensemble des stratégies permettant
    aux machines d’apprendre à partir de données. De nombreux cours de troisième année
    aborderont des outils mathématiques de pointe dans cet objectif. Les sujets couverts par le
    cours d’introduction à l’apprentissage machine sont notamment : des algorithmes classiques
    d’apprentissage machine, l’approche Bayésienne et les réseaux de neurones.
  • Méthodes numériques avancées pour les EDP : Les méthodes numériques du calcul
    scientifique de la révolution informatique continuent à être largement utilisées dans
    l’industrie. Le but de ce cours est donc de donner aux étudiants la culture du calcul
    scientifique et la pratique. Le cours couvre la résolution numérique d’équations
    différentielles : schémas de résolution de problèmes dépendants du temps, différences finies
    et éléments finis pour les EDP.
  • Statistiques avec R : Introduction à la programmation avec R, analyse des données
    exploratoire, échantillonnage des données, tests d’hypothèse, régression et prédiction,
    classification des données.
  • C++ et Python pour l’analyse des données : Approfondissement des notions présentées au
    premier bloc.
Bloc 3 (mars-mai)
  • Analyse harmonique appliquée : Introduction à la transformation de Fourier discrète, à
    l’échantillonnage, à la notion de filtre/convolution, à la transformée de Fourier à fenêtre
    glissante, aux ondelettes.
  • Analyse fonctionnelle avancée : Ce module permet de mettre en place le cadre fonctionnel
    (définition des espaces et de leurs propriétés) dans lesquels l’analyse des différents
    problèmes/équations est opérée. Le cours couvre des rappels de topologie, les espaces de
    Banach et la théorie des opérateurs.
  • Systèmes dynamiques : Ce module introduit des bases théoriques pour l’étude des systèmes
    d’équations différentielles non linéaires.
  • Analyse numérique avec Python et Julia : Dans ce module est abordé un nouveau langage de
    programmation, Julia, conçu pour le calcul scientifique et le calcul numérique.
  • Stage ou mémoire : stage en entreprise ou mémoire académique d'une durée de 3 mois.

Deuxième année:
Semestre 1 (septembre-décembre)
  • Fondements mathématiques de l’apprentissage statistique : Ce module aborde à la fois la problématique de la grande dimension pour l’inférence statistique et introduit des méthodes d’apprentissage statistique. Les sujets couverts sont : la sélection de modèle, les critères convexes, les inégalités de concentration, les modèles graphiques et la classification supervisée.
  • Transport optimal numérique : La théorie du transport optimal a permis une révolution
    notamment dans le champ de l’imagerie. Plus récemment, cette théorie s’est développée pour
    apporter de nouvelles méthodes dans le champ de l’apprentissage et de l’intelligence
    artificielle. Le but de ce cours est d’explorer cette thématique sous les angles théorique et
    numérique.
  • Introduction au calcul quantique : L’objectif de ce cours est d’initier les étudiants au calcul
    quantique, afin qu’ils soient préparés à faire face à l’émergence des technologies quantiques. Ce cours couvre les bases physiques et axiomatiques de la mécanique quantique, les bases du
    calcul quantique et de la cryptographie quantique.
  • Dynamique nonlinéaire, chaos et systèmes complexes : Ce cours se concentre sur les
    modèles plutôt que les données et explore en particulier les aspects dynamiques des modèles
    et équations différentielles. Les sujets suivants sont couverts : géométrie des systèmes
    linéaires et non linéaires, analyse locale, bifurcations, chaos.
  • Apprentissage machine pour les EDP : Ce module explore les liens entre les données, les modèles et leur
    dynamique, et le calcul scientifique. Ces liens sont à sens multiples : d’une part les données
    permettent d’apprendre des modèles, et d’autre part la dynamique des modèles peut
    renseigner des stratégies d’apprentissage machine. Les sujets couverts sont : l’apprentissage
    de modèles dynamiques, l’apprentissage machine informé par la physique et la dynamique,
    l’apprentissage d’opérateurs solutions et son application au calcul scientifique.
  • C++ et python pour l’analyse des données : Approfondissement de la connaissance des
    langages C++ et Python en adéquation avec les demandes des entreprises exprimées dans les
    fiches métier.
  • Réflexion sur l’IA : Le but de ce module est de faire réfléchir les étudiants aux défis posés par
    l’utilisation massive des données et de l’IA.
  • Maths/entreprise : Témoignages de différents acteurs du monde industriel, de la Deeptech et
    de la science.
Semestre 2 (janvier-avril)
  • Apprentissage géométrique et topologique : Le but de ce cours est d’élaborer des outils pour
    détecter des structures linéaires et non linéaires dans les données. Un des enjeux est
    notamment la construction de notions de distances robustes : distance de Wasserstein et
    homologie persistente.
  • Processus de décisions markoviens et apprentissage par renforcement : Ce cours explore les
    mathématiques de l’apprentissage par renforcement qui consiste pour un système à
    apprendre de ses expériences grâce à des récompenses quantitatives: contrôle optimal,
    algorithmes de programmation dynamique, processus de décision de Markov.
  • Statistiques non paramétriques : Ce cours a pour thème l’analyse statistique non
    paramétrique ne reposant pas sur des familles de lois de probabilités paramétriques. Les
    sujets abordés sont notamment : l’estimation de fonctions de densité et la régression non
    paramétrique.
  • Calcul quantique avancé : Ce cours est le pendant avancé du cours d’introduction au calcul
    quantique du semestre 1. Les sujets couverts sont : la Simulation de Hamiltoniens quantiques,
    l’estimation de la phase quantique, l’estimation de l’énergie fondamentale, l’encodage par
    blocs, les valeurs singulières quantiques et l’apprentissage machine quantique.
  • Projet de fin d'études : Cette UE s’inscrit dans la pédagogie par projet.
    L’étudiant doit être en mesure de compléter son portfolio de compétences. Langages utilisés : C++,
    Julia, Python ou R, et Visual Basic. Cette UE permettra aussi d’apprendre à utiliser Git.
  • Stage : stage en entreprise d'une durée de 5 mois.

L'évaluation des différents enseignements se fait selon les modalités de contrôle des connaissances de la formation, via des examens écrits ou oraux, et/ou un contrôle continu. Les mémoires et stages sont évalués après remise d'un rapport écrit et soutenance orale.

Et après ?

Niveau de sortie

Année post-bac de sortie

Bac +5

Niveau de sortie

Master

Poursuites d'études

Le Master Mathématiques peut conduire à une poursuite d'études dans le cadre d'un doctorat en mathématiques pures ou appliquées.

Insertion professionnelle

Après vos études de master vous pourrez intégrer le marché du travail de l’industrie et des nouvelles technologies (quantique, IA, entreprises de la Deeptech, industries de la défense, etc.) ou devenir chercheur dans des organismes de recherche (universités, CNRS, INRIA, etc.) en complétant votre formation avec une thèse (Cifre, etc.).