Master Mathématiques

Les équations aux dérivées partielles modélisent une grande classe de phénomènes, en mécanique des structures, en mécanique des fluides, en mécanique quantique, en relativité, en physique statistique, en écologie, en sciences sociales ou en finance. Ce cours est préparatoire aux autres cours en lien avec les équations aux dérivées partielles. Il couvre notamment : la notion de solutions faibles, l’étude des trois grands types d’équations aux dérivées partielles linéaires et des exemples d’équations non linéaires.

Les algorithmes d’optimisation sont omniprésents dans l’industrie, les technologies de la Deep Tech et de l’intelligence artificielle : calculs de valeurs propres et vecteurs propres, algorithmes de résolution de systèmes linéaires en grandes dimensions et leurs applications à la résolution numérique d’équations aux dérivées partielles, optimisation des jeux de paramètres dans les réseaux de neurones, résolution de problèmes complexes, souvent mal posés dans l’industrie comme l’optimisation de formes d’ailes d’avion, l’optimisation de réseaux électriques. Le cours couvre les thématiques suivantes : rappels sur la convexité et la coercivité, optimisation en dimension finie avec et sans contrainte, programmation dynamique, puis optimisation stochastique.

Le cours sur la théorie des probabilités couvre les sujets suivants : rappels sur la théorie de la mesure et les probabilités élémentaires. Introduction de la notion de vecteurs gaussiens de l’espérance conditionnelle afin de pouvoir aborder la notion de martingale ainsi que les chaînes de Markov.

Maîtriser le langage Python pour le calcul scientifique en adéquation avec les métiers de la recherche et de l'enseignement.

L’algèbre linéaire appliquée est au coeur notamment des algorithmes des moteurs de recherche, de la théorie des graphes, de la résolution numérique d’équations différentielles et de la classification des données. Un très grand nombre de problèmes se traduit, éventuellement après discrétisation, en des problèmes d’inversion de matrices, de calcul de valeurs propres ou de vecteurs propres de matrices. Ces matrices, bien qu’en très grandes dimensions, ont souvent des structures particulières (matrices positives, matrices creuses) héritées du problème de départ. Ceci résulte en de nombreuses méthodes, basées sur des décompositions matricielles particulières et des outils d’optimisation. Le cours couvre : des rappels de théorie spectrale, la factorisation de matrices, les procédés de Gram-Schmidt et de Householder, la décomposition en valeurs singulières, l’analyse en composantes principales, des méthodes itératives de résolution de problèmes linéaires, le calcul approché de valeurs propres, le cas des matrices à coefficients positifs, des matrices primitives, le théorème de Perron-Frobenius, les algorithmes randomisés.

Les méthodes numériques du calcul scientifique sont largement utilisées dans l’industrie et la recherche. Le but de ce cours est de donner aux étudiants la culture du calcul scientifique et sa pratique. Le cours couvre la résolution numérique d’équations différentielles : schémas de résolution de problèmes dépendants du temps, méthodes des différences finies et des éléments finis pour les équations aux dérivées partielles.

Ce module est centré sur l’analyse statistique inférentielle développée au vingtième siècle. Les sujets abordés sont les suivants : théorèmes limites (lois des grands nombres, théorème central limite, théorèmes de convergence des fonctions de répartition), statistiques fréquentistes (estimation, tests, intervalles de confiance), régression linéaire multivariée (modèle linéaire gaussien), statistiques bayésiennes, statistiques non paramétriques (Kolmogorov Smirnov, test du χ2 indépendance et adéquation).

Il s'agit de mettre en place le cadre fonctionnel (définition des espaces et de leurs propriétés) dans lesquels l’analyse des différents problèmes/équations est opérée. Le cours couvre des rappels de topologie, les espaces de Banach et la théorie des opérateurs.

Il s'agit d'une introduction à la transformation de Fourier discrète, à l’échantillonnage, à la notion de filtre/convolution, à la transformée de Fourier à fenêtre glissante, et aux ondelettes.

L'objectif est d'introduire des bases théoriques pour l’étude des systèmes d’équations différentielles linéaires et non linéaires.

Le but de ce cours est de réviser rapidement des notions algébriques déjà vues en licence : surtout l'algèbre linéaire et un peu les structures algébriques.

1. Espaces vectoriels
2. Applications linéaires
3. Vecteurs propres et valeurs propres
4. Réduction des endomorphismes
5. Formes bilinéaires et quadratiques
6. Orthogonalité
7. Structures algébriques

Méthodes des éléments finis (4 ECTS)

Modélisation (4 ECTS)

Ce cours vise une maîtrise des thèmes essentiels de la modélisation numérique. Il s'adresse à divers profils d'étudiants : ceux souhaitant approfondir leurs connaissances en analyse numérique, ou perfectionner leur programmation, ou encore se préparer à l'option de modélisation au concours de l'agrégation externe. Il alternera entre séances de cours théoriques (convergence d’algorithme etc.) et travaux pratiques en Python avec Jupyter Lab. Le cours couvrira de multiples algorithmes classiques de l’analyse numérique, liés à l’analyse mathématique au sens large, et contiendra des applications concrètes dans ses exercices. L’objectif est d’acquérir des bases solides en programmation, de la fluidité dans le codage, et une compréhension des résultats mathématiques à la base des algorithmes.

1. Graphismes
2. Systèmes linéaires
a. Méthodes directes
b. Méthodes itératives
c. Analyse par composantes principales
3. Intégration numérique
a. Formules de Newton-Cotes
b. Méthode de Monte-Carlo
4. Approximation de fonctions
a. Interpolation de Lagrange
b. Transformation de Fourier
5. Systèmes non linéaires
a. Méthodes itératives en dimension 1
c. Algorithme de Newton-Raphson
6. Optimisation
a. Moindres carrés
b. Algorithmes de descente
c. Contraintes et multiplicateurs de Lagrange
7. Équations différentielles ordinaires
a. Schémas d'Euler explicites et implicites
b. Schémas d'ordre élevés
c. Illustration numérique des propriétés des solutions
8. Équations aux dérivées partielles
a. Introduction aux différences finies
a. Équations de Poisson, transport, et chaleur en dimension un

Le but de ce cours est de réviser rapidement des notions algébriques déjà vues en licence : surtout l'algèbre linéaire et un peu les structures algébriques.

1. Espaces vectoriels
2. Applications linéaires
3. Vecteurs propres et valeurs propres
4. Réduction des endomorphismes
5. Formes bilinéaires et quadratiques
6. Orthogonalité
7. Structures algébriques

Ce cours vise une maîtrise des thèmes essentiels de la modélisation numérique. Il s'adresse à divers profils d'étudiants : ceux souhaitant approfondir leurs connaissances en analyse numérique, ou perfectionner leur programmation, ou encore se préparer à l'option de modélisation au concours de l'agrégation externe. Il alternera entre séances de cours théoriques (convergence d’algorithme etc.) et travaux pratiques en Python avec Jupyter Lab. Le cours couvrira de multiples algorithmes classiques de l’analyse numérique, liés à l’analyse mathématique au sens large, et contiendra des applications concrètes dans ses exercices. L’objectif est d’acquérir des bases solides en programmation, de la fluidité dans le codage, et une compréhension des résultats mathématiques à la base des algorithmes.

1. Graphismes
2. Systèmes linéaires
a. Méthodes directes
b. Méthodes itératives
c. Analyse par composantes principales
3. Intégration numérique
a. Formules de Newton-Cotes
b. Méthode de Monte-Carlo
4. Approximation de fonctions
a. Interpolation de Lagrange
b. Transformation de Fourier
5. Systèmes non linéaires
a. Méthodes itératives en dimension 1
c. Algorithme de Newton-Raphson
6. Optimisation
a. Moindres carrés
b. Algorithmes de descente
c. Contraintes et multiplicateurs de Lagrange
7. Équations différentielles ordinaires
a. Schémas d'Euler explicites et implicites
b. Schémas d'ordre élevés
c. Illustration numérique des propriétés des solutions
8. Équations aux dérivées partielles
a. Introduction aux différences finies
a. Équations de Poisson, transport, et chaleur en dimension un