Master Mathématiques Appliquées à l’Ingénierie Financière

Les équations aux dérivées partielles modélisent une grande classe de phénomènes, en mécanique des structures, en mécanique des fluides, en mécanique quantique, en relativité, en physique statistique, en écologie, en sciences sociales ou en finance. Ce cours est préparatoire aux autres cours en lien avec les équations aux dérivées partielles. Il couvre notamment : la notion de solutions faibles, l’étude des trois grands types d’équations aux dérivées partielles linéaires et des exemples d’équations non linéaires.

Les algorithmes d’optimisation sont omniprésents dans l’industrie, les technologies de la Deep Tech et de l’intelligence artificielle : calculs de valeurs propres et vecteurs propres, algorithmes de résolution de systèmes linéaires en grandes dimensions et leurs applications à la résolution numérique d’équations aux dérivées partielles, optimisation des jeux de paramètres dans les réseaux de neurones, résolution de problèmes complexes, souvent mal posés dans l’industrie comme l’optimisation de formes d’ailes d’avion, l’optimisation de réseaux électriques. Le cours couvre les thématiques suivantes : rappels sur la convexité et la coercivité, optimisation en dimension finie avec et sans contrainte, programmation dynamique, puis optimisation stochastique.

Le cours sur la théorie des probabilités couvre les sujets suivants : rappels sur la théorie de la mesure et les probabilités élémentaires. Introduction de la notion de vecteurs gaussiens de l’espérance conditionnelle afin de pouvoir aborder la notion de martingale ainsi que les chaînes de Markov.

Maîtriser le langage Python pour le calcul scientifique en adéquation avec les métiers de la recherche et de l'enseignement.

Les méthodes numériques du calcul scientifique sont largement utilisées dans l’industrie et la recherche. Le but de ce cours est de donner aux étudiants la culture du calcul scientifique et sa pratique. Le cours couvre la résolution numérique d’équations différentielles : schémas de résolution de problèmes dépendants du temps, méthodes des différences finies et des éléments finis pour les équations aux dérivées partielles.

Il s'agit de mettre en place le cadre fonctionnel (définition des espaces et de leurs propriétés) dans lesquels l’analyse des différents problèmes/équations est opérée. Le cours couvre des rappels de topologie, les espaces de Banach et la théorie des opérateurs.

Il s'agit d'une introduction à la transformation de Fourier discrète, à l’échantillonnage, à la notion de filtre/convolution, à la transformée de Fourier à fenêtre glissante, et aux ondelettes.

L'objectif est d'introduire des bases théoriques pour l’étude des systèmes d’équations différentielles linéaires et non linéaires.

Ce cours vise une maîtrise des thèmes essentiels de la modélisation numérique. Il s'adresse à divers profils d'étudiants : ceux souhaitant approfondir leurs connaissances en analyse numérique, ou perfectionner leur programmation, ou encore se préparer à l'option de modélisation au concours de l'agrégation externe. Il alternera entre séances de cours théoriques (convergence d’algorithme etc.) et travaux pratiques en Python avec Jupyter Lab. Le cours couvrira de multiples algorithmes classiques de l’analyse numérique, liés à l’analyse mathématique au sens large, et contiendra des applications concrètes dans ses exercices. L’objectif est d’acquérir des bases solides en programmation, de la fluidité dans le codage, et une compréhension des résultats mathématiques à la base des algorithmes.

1. Graphismes
2. Systèmes linéaires
a. Méthodes directes
b. Méthodes itératives
c. Analyse par composantes principales
3. Intégration numérique
a. Formules de Newton-Cotes
b. Méthode de Monte-Carlo
4. Approximation de fonctions
a. Interpolation de Lagrange
b. Transformation de Fourier
5. Systèmes non linéaires
a. Méthodes itératives en dimension 1
c. Algorithme de Newton-Raphson
6. Optimisation
a. Moindres carrés
b. Algorithmes de descente
c. Contraintes et multiplicateurs de Lagrange
7. Équations différentielles ordinaires
a. Schémas d'Euler explicites et implicites
b. Schémas d'ordre élevés
c. Illustration numérique des propriétés des solutions
8. Équations aux dérivées partielles
a. Introduction aux différences finies
a. Équations de Poisson, transport, et chaleur en dimension un